Наибольший общий делитель

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

  1. разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
  2. выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
  3. найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3;

12 2
6 2
3 3
1

8 = 2 · 2 · 2;

8 2
4 2
2 2
1

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

150 = 2 · 3 · 5 · 5;

150 2
75 3
25 5
5 5
1

75 = 3 · 5 · 5;

75 3
25 5
5 5
1

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

9 = 3 · 3;

9 3
3 3
1

5 = 5;

5 5
1

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Калькулятор нахождения НОД и НОК

Введите 2 числа и получите подробное решение.

Смотрите также

Подписаться
Уведомить о
guest
1 Комментарий
Старые
Новые Популярные
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии
Артём
Артём
11 месяцев назад

сайт топ но только на два числа но надо добавить 3 и 4 числа нод и нок